Smoothdeath's Blog

resumo do aluno Marcelo

smoothdeath — Wed, 23 Jun 2010 19:38:30 +0000

1ª condição: denominadores iguais.

Quando os denominadores são iguais, os numeradores devem ser somados ou subtraídos de acordo com os sinais operatórios e o valor do denominador mantido. Observe os exemplos:

2º condição: denominadores diferentes.

Nas operações da adição ou subtração envolvendo números na forma de fração com denominadores diferentes, devemos criar um novo denominador através do cálculo do mínimo múltiplo comum – MMC dos denominadores fornecidos. O novo denominador deverá ser dividido pelos denominadores atuais, multiplicando o quociente pelo numerador correspondente, constituindo novas frações proporcionalmente iguais as anteriores e com denominadores iguais. Observe os cálculos:

Realizar o MMC entre 3 e 4.

Realizar o MMC entre 5, 9 e 12.

Realizar o MMC entre 15 e 20.

Os números na forma de fração pertencem ao conjunto dos números racionais e são utilizados na representação das partes de um inteiro. Entre as frações, podemos efetuar todas as operações básicas, como adicionar, subtrair, multiplicar, dividir, potencializar e aplicar a raiz quadrada. Dentre os citados, abordaremos os princípios da adição e da subtração de números fracionários.

Nas frações onde os denominadores são iguais, basta conservar o denominador e adicionar ou subtrair os numeradores de acordo com a operação indicada. Por exemplo:

Nos casos de adição e subtração envolvendo frações com denominadores diferentes, devemos realizar a redução ao mesmo numerador. Para isso, devemos aplicar algumas técnicas como a utilização do MMC (mínimo múltiplo comum) entre os denominadores. Após a efetuação do MMC entre os denominadores diferentes, utilizamos o resultado com o novo denominador, que será dividido pelo antigo e multiplicado pelo numerador correspondente. Observe os exemplos:

Essa técnica pode ser utilizada em qualquer adição e subtração de fração com denominadores diferentes, inclusive as frações algébricas. As frações algébricas são aquelas em que a incógnita se encontra no denominador. Observe:

Adição

É a operação que tem por fim determinar uma fração que contenha todas as unidades e partes de unidades de várias parcelas de mesma natureza.

Entende-se por mesma natureza as frações que exprimem as mesmas partes da unidade, ou seja, que tenham o mesmo denominador, também conhecidas como homogêneas (2/8, 3/8 e 5/8 é um exemplo de tais frações).

Distinguem-se três casos na adição de frações.

A1. Soma ou adição de frações homogêneas ou de mesmo denominador.

Como fazer – Somam-se os numeradores e conserva-se o denominador comum.

Exemplo:

Como o denominador representa em quantas partes a unidade foi dividida, lembram-se, basta, para obter o número das partes, somar os numeradores.

Na figura a seguir temos uma pizza – prato comum em Brasília – servida para você e um amigo dividida em oito partes iguais (faça um esforço!). Se você come dois pedaços e seu amigo três, os dois juntos consumiram cinco partes em oito, ou seja, cinco oitavos da pizza.

A2. Adição de frações que não têm o mesmo denominador comum (frações heterogêneas).

Inicialmente, atente que não podemos somar quantidades de “coisas” diferentes e expressar o resultado em uma dessas “coisas”. Clareando: não podemos somar 5 maçãs e 3 bananas e dizer que o resultado é 8 maças ou 8 bananas.

Assim para somar frações heterogêneas é necessário, primeiro, transformar cada parcela nas mesmas partes da unidade, isto é, em frações que tenham o mesmo denominador comum.

Em resumo:

Como fazer – Para somar frações que não tenham o mesmo denominador, é preciso reduzi-las ao mesmo denominador e aplicar, então, a regra do primeiro caso A1.

Exemplo: Somar as frações 2/3, 5/8 e 1/6.

Utilizando-se da regra 2 de redução de frações ao mesmo denominador comum (veja a Parte II), temos que o mmc(3,6,8) = 24 e:

A3. Somar números mistos.

Como fazer:

Método 1: Para somar números mistos, somam-se primeiro as partes fracionárias, depois as partes inteiras, acrescentando-lhes também os inteiros obtidos na adição das partes fracionárias;
Método 2: Para somar números mistos, reduza-os, primeiro, a frações impróprias e após proceda como no caso A2.

Exemplo: Somar os números mistos e , pelo método 1. E você resolve pelo método 2, ok .

Pelo dito no método 1, temos:

Subtração

É a operação que tem por objetivo tirar de um número dado todas as unidades e partes da unidade de outro número de mesma natureza.

Observação: No que se segue não serão considerados os casos em que o minuendo é menor do que o subtraendo, pois requer o conhecimento da teoria dos números relativos. Mas as regras em si permanecem válidas para quem é detentor do assunto.

Da mesma forma que na adição temos três casos que se distinguem na subtração.

S1. Subtração de duas frações com o mesmo denominador.

Como fazer – Subtrai-se o numerador da menor do numerador da maior e conserva-se o denominador comum.

Exemplo:

S2. Subtração de duas frações que não têm o mesmo denominador.

Lembrem-se, como colocado para a adição, que somente podemos subtrair quantidades de mesma natureza.

Como fazer – Da mesma forma que na adição, para se obter a subtração de frações heterogêneas, é preciso, primeiro, reduzi-las ao mesmo denominador, e, então, aplicar o caso S1.

Exemplo:

S3. Subtração de números mistos

Método 1: Para subtrair dois números mistos, subtraem-se primeiro as partes fracionárias, depois as partes inteiras e somam-se os resultados;
Método 2: Para subtrair dois números mistos, reduza-os, primeiro, a frações impróprias e após proceda como no caso S2.

Exemplo (método 2): Convertendo os números mistos dados na subtração para frações impróprias:

E reduzindo ao mesmo denominador comum – mmc(3,5)=15:

Multiplicação

A multiplicação de frações é a operação na qual partindo-se de duas frações dadas se obtem uma terceira que corresponde ao produto das duas anteriores.

M1. Multiplicar uma fração por outra.

Como fazer. Para se multiplicar uma fração por outra, multiplicam-se seus numeradores para obter o numerador da fração produto e seus denominadores para obter o denominador da fração produto.

Exemplo:

Observação: Para se multiplicar um inteiro por uma fração ou uma fração por um inteiro basta multiplicar esse inteiro pelo numerador da fração ou o numerador da fração por esse inteiro. É só notar que um numero inteiro pode ser representado por uma fração cujo denominador é um, por exemplo, 5 = 5/1, e chegamos no caso M1, em que o denominador não se altera uma vez que é multiplicado por um.

M2. Produto de várias frações: É o resultado obtido multiplicando a primeira fração pela segunda; depois este produto pela terceira, e assim sucessivamente, até a última fração.

Observe que o produto de frações se faz da mesma forma que o produto de números inteiros e que o resultado, no caso das frações, é obtido pela aplicação repetida do caso M1.

Como fazer – Multiplicam-se os numeradores entre si para obter o numerador do produto e os denominadores entre si para obter o denominador do produto.

Exemplo:

Os cálculos acima poderiam ser simplificados, suprimindo-se os fatores comuns ao numerador e ao denominador, antes de efetuá-los, como indicado a seguir:

Divisão

Divisão de frações é a operação que tem por fim, dadas duas frações, dividendo e divisor, achar uma terceira, o quociente, tal que multiplicada pelo divisor, reproduza o dividendo.

D1. Dividir uma fração por um inteiro

Como fazer – Para se dividir uma fração por um inteiro multiplica-se o denominador pelo iinteiro.

Exemplo:

D2. Dividir um inteiro por uma fração.

Como fazer – Multiplica-se o inteiro pela fração invertida.

Exemplo:

D3. Dividir uma fração por outra.

Como fazer – Multiplica-se a fração do dividendo pela fração do divisor invertida. Em outras palavras conserva-se a primeira (dividendo) e multiplica-se pelo inverso da segunda (divisor).

Exemplo:

resumo do aluno marcelo

smoothdeath — Fri, 21 May 2010 19:29:28 +0000

Em aritmética e em teoria dos números o mínimo múltiplo comum (mmc) de dois inteiros a e b é o menor inteiro positivo que é múltiplo simultaneamente de a e de b. Se não existir tal inteiro positivo, por exemplo, se a = 0 ou b = 0, então mmc(a, b) é zero por definição.

O mínimo múltiplo comum é útil quando se adicionam ou subtraem fracções vulgares, pois é necessário o mínimo denominador comum (não é necessário que o denominador seja mínimo, mas sê-lo agiliza os cálculos) durante esses processos. Considere-se por exemplo

onde o denominador 42 foi usado porque mmc(21, 6) = 42.

Se nem a nem b são zero, o mínimo múltiplo comum pode ser computado usando o máximo divisor comum (mdc) entre a e b:

Assim, o Algoritmo Euclidiano para o mdc também nos dá um algoritmo rápido para o mmc. Retornando ao exemplo acima,

Agora note que como : então:

Índice

[esconder]

Cálculo eficiente

A fórmula

é adequada para o cálculo do mmc para números pequenos usando a fórmula tal e qual como está escrita.

Porque (ab)/c = a(b/c) = (a/c)b, pode-se calcular o mmc usando a fórmula acima mais eficientemente, calculando primeiro b/c ou a/c , sendo mais fácil de calcular que o quociente do produto ab por c, pois o facto de que c é multiplo tanto de a como de b permite que em qualquer fracção, a/c ou b/c, se possa cancelar o valor de c. Isto é verdade quer os cálculos sejam feitos por um humano, ou por um computador, o que pode ter requisitos de armazenamento nas variáveis a, b, c, onde os limites podem ser de armazenamento de 4 bytes – calcular ab pode causar um overflow, se o espaço de armazenamento não for devidamente reservado.

Usando isto, podemos então calcular o mmc usando:

Deste modo, no exemplo anterior:

Mesmo que os números sejam grandes e não sejam rapidamente factorizáveis, o mdc pode ser rapidamente calculado com o Algoritmo de Euclides.

[editar] Uma forma de nos lembrarmos de cancelar antes de multiplicar

Para aqueles que já ensinaram matemática elementar é por vezes frustrantemente difícil obter estudantes que se lembrem de cancelar antes de multiplicar. A seguinte maneira tem a virtude de tornar este passo impossível de esquecer (essencialmente torna-se desnecessário lembrar). Ilustraremos isto com o exemplo da procura do mmc(12, 8).

Primeiro, reduz-se a fracção aos seus menores termos:
Depois, multiplica-se “em cruz”:
O produto 12 × 2 = 8 × 3 = 24 é o mmc.

[editar] Método alternativo

O Teorema da factorização única diz que todo o número maior que 1 pode ser escrito de um só modo como um produto de números primos. Os números primos podem ser considerados como os elementos atómicos que, quando combinados, formam um número composto.

Por exemplo:

Aqui temos o número composto 90, constituído por um átomo do número primo 2, dois átomos do número primo 3 e um átomo do número primo 5.

Podemos usar este conhecimento para encontrar facilmente o mmc de um grupo de números.

Por exemplo: Encontrar o valor de mmc(45, 120, 75)

O mmc é o número que tem o maior múltiplo de cada tipo diferente de átomo. Assim

[editar] Outras propriedades

Considerado como operação binária, o mmc de dois inteiros positivos tem as propriedades comutativa e associativa, é idempotente, 1 é o elemento neutro, e a multiplicação é distributiva com o mmc:

A teoria dos números é o ramo da matemática pura que estuda propriedades dos números em geral, e em particular dos números inteiros, bem como a larga classe de problemas que surge no seu estudo.

A teoria dos números pode ser subdividida em muitas áreas, de acordo com o método utilizado e do tipo de questão investigada.

O termo “aritmética” é também utilizado para se referir à teoria dos números. Esse é um termo antigo, que não é mais tão popular como já foi. A teoria dos números foi também chamada de aritmética superior, mas esse termo também caiu em desuso. Entretanto, esse termo ainda aparece nos nomes de objetos matemáticos relacionados (funções aritméticas, aritmética de curvas elípticas, teorema fundamental da aritmética). Esse sentido do termo aritmética não deve ser confundido ou com aritmética elementar, ou com o ramo da lógica que estuda aritmética de Peano como um sistema formal. Os matemáticos que trabalham na área de teoria dos números são chamados teoristas dos números.

Tradicionalmente, a teoria dos números é o ramo da matemática pura que se preocupa com as propriedades dos números inteiros e que envolve muitos problemas que são facilmente compreendidos mesmo por não-matemáticos. A disciplina veio a ocupar-se com uma classe mais vasta de problemas que surgiram naturalmente do estudo dos números inteiros. A teoria dos números pode ser subdividida em vários campos, de acordo com os métodos que são usados e das questões que são investigadas, a saber

Normalmente, o primeiro contacto com a teoria dos números é por meio da teoria elementar dos números. Através desta disciplina podem ser introduzidas propriedades bastante interessantes e notáveis dos números inteiros, mas, que ao serem propostas como questões a serem resolvidas, ou teoremas a serem provados, são geralmente de difícil solução ou comprovação. Estas questões estão ligadas basicamente a três tipos de pesquisas, a saber:

O estudo de fatoração em números primos é muito importante para diversas partes da Matemática, mas principalmente para potenciação e fatoração. Por isso colocamos todos estes tópicos juntos.

O que significa fatorar? O que é um fator? Números Primos?

Quando aprendemos a multiplicar (lá nas primeiras séries), também aprendemos o que é um fator.
Cada parte de uma multiplicação tem seu nome:

Fatorar um número nada mais é do que achar uma multiplicação de números que resulte o número a ser fatorado. Exemplos:

Uma fatoração para 4 pode ser 2 · 2

9 = 3 · 3

32 = 16 · 2

90 = 15 · 3 · 2

Todos estes são exemplos de fatoração.

Mas o que nos interessa é a fatoração em números primos.

Fatorar em números primos é achar uma multiplicação de números primos que resulta no número que deseja-se fatorar.

Veja que os dois últimos exemplos, logo acima, não são fatoração em primos, pois 16 e 15 não são números primos. Então aquela fatoração é somente fatoração, e não fatoração em números primos.

NÚMEROS PRIMOS

Número Primo Positivo é todo aquele número que só pode ser dividido pelos números positivos 1 e ele mesmo.Por exemplo, o número 10 não é primo, pois pode ser dividido por 1, 2, 5 e 10.

O número 5 é primo, pois só pode ser dividido por 1 e por 5.

Os primeiros números primos positivos são:

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 27, 29, 31, 37…}

Curiosidade: O único número primo positivo que é PAR é o 2. Todos os restantes são ímpares.

Obs.: A qualidade de ser primo é algo que também afeta os números negativos. Apesar de não ser algo muito utilizado nos vestibulares. Para os negativos, dizemos que um número é primo negativo quando só pode ser divido pelos números negativos -1 e ele mesmo. Ou seja, o número -3, que só pode ser dividido pelos negativos -1 por ele mesmo também é primo.

No antigo Egito por volta do ano 1000 a.C., o faraó Sesóstris distribuiu algumas terras às margens do rio Nilo para alguns agricultores privilegiados. O privilégio em possuir essas terras era porque todo ano, no mês de julho, as águas do rio inundavam essa região ao longo de suas margens e fertilizava os campos. Essas terras, portanto, eram bastante valorizadas.

Porém, era necessário remarcar os terrenos de cada agricultor em setembro, quando as águas baixavam. Os responsáveis por essa marcação eram os agrimensores, que também eram chamados de estiradores de corda, pois mediam os terrenos com cordas nas quais uma unidade de medida estava marcada.

Essas cordas eram esticadas e se verificava quantas vezes a tal unidade de medida cabia no terreno, mas nem sempre essa medida cabia inteira nos lados do terreno. Esse problema só foi resolvido quando os egípcios criaram um novo número: o número fracionário. Ele era representado com o uso de frações, porém os egípcios só entendiam a fração como uma unidade (ou seja, frações cujo numerador é igual a 1).

Eles escreviam essas frações com uma espécie de sinal oval escrito em cima do denominador. Mas os cálculos eram complicados, pois no sistema de numeração que usavam no antigo Egito os símbolos se repetiam muitas vezes.

Só ficou mais fácil trabalhar com as frações quando os hindus criaram o Sistema de Numeração Decimal, quando elas passaram a ser representadas pela razão de dois números naturais.

Desde então, as frações foram usadas para a resolução de diversos tipos de problemas matemáticos. Uma das formas mais correntes de se trabalhar com frações é a porcentagem, em que se expressa uma proporção ou uma relação a partir de uma fração cujo denominador é 100. O uso de frações também é de valia extrema para a resolução de problemas que envolvem regra de três.

[editar] Definições

De modo simples, pode-se dizer que uma fração de um número, representada de modo genérico como , designa este número a dividido em b partes iguais. Neste caso, a corresponde ao numerador, enquanto b corresponde ao denominador, que não pode ser igual a zero.^[1]

O denominador corresponde ao número de partes que um todo será dividido e o numerador corresponde ao número de partes que serão consideradas. Ex.: Uma professora tem que dividir três folhas de papel de seda entre quatro alunos, como ela pode fazer isso?

Cada aluno ficara com 3:4= da folha, ou seja você vai dividir cada folha em 4 partes e distribuir 3 para cada aluno.

Por exemplo, a fração designa o quociente de 56 por 8. Ela é igual a 7, pois 7 × 8 = 56. A divisão é, note-se, a operação inversa da multiplicação.

Os números expressos em frações são chamados de números racionais. O conjunto dos racionais é representado por . Fração é a representação da parte de um todo (de um ou mais inteiros), assim podemos considerá-la como sendo mais uma representação de quantidade, ou seja, uma representação numérica, com ela podemos efetuar todas as operações como: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação.

Dessa forma, toda fração pode ser representada em uma reta numerada, por exemplo, 1/2 (um meio) significa que de um inteiro foi considerada apenas a sua metade, portanto, podemos dizer que em uma reta numerada a fração 1/2 estará entre os números inteiros 0 e 1.

[editar] Tipos de Frações

própria: o numerador é menor que o denominador. Ex.:
imprópria: o numerador é maior que o denominador. Ex.:
mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Ex.: .Pode-se encontrar uma fração imprópria a partir do número misto: 2×3=6 6+1=7 (7=numerador/2=denominador)e assim por diante repetindo o denominador
aparente: é quando o numerador é múltiplo ao denominador. Ex.:
equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Ex.: 4 e 4 dividos por 2(ou outro número) é igual a 2.
irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo simplificação. Ex.:
unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ex.:
egípcia: fração que é a soma de frações unitárias, distintas entre si. Ex:
decimal: o denominador é uma potência de 10(100,1000,10000…). Ex.:
composta: fração cujo numerador e denominador são frações:
contínua: fração constituída a partir de uma sequência de inteiros naturais da seguinte maneira

[editar] Exponenciação ou Potenciação

É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão:

Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmo resultado:

Também é comum nos números comuns, a qual resolve-mos primeiro as potencias seguidas de parênteses e logo depois as operações. Bem melhor será pensar que as fracções são números comuns por ele pelas vezes ditas no expoente. 2/2 + 2ª=2/2 + 4= 1+4=5

[editar] Radiciação

A raiz de uma fração é feita seguindo-se os mesmos passos da potenciação.

[editar] Expoente fracionário

Da mesma forma que na, divisão entre frações, a ocorrência de expoente fracionário causa a inversão da operação:

ou pode ser feita assim Fração#Divis.c3.A3o/Multiplicação

[editar] Simplificação de frações

Uma fração pode ser simplificada quando numerador e denominador não são primos entre si. Ex.:

Para tanto basta dividi-los pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, obtendo-se uma fração que, além de manter a proporção da original, é do tipo irredutível:

[editar] Comparação entre frações

Uma propriedade importante para se comparar frações é a seguinte:

Se e são frações irredutíveis, com a, b, c e d inteiros positivos, então .

Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador. Isso é obtido através do menor múltiplo comum, como foi visto na adição.

O MMC entre 5 e 7 é 35.

∴

A comparação entre frações com denominadores diversos vale-se do fato de que há frações que são equivalentes entre si, pois:

Uma vez igualados os denomidores,pode-se fazer a comparação entre as frações:

< logo <

[editar] Conversão entre frações impróprias e mistas

Uma fração do tipo imprópria pode ser convertida para mista e vice-versa.

Para tanto, basta dividir o numerador pelo denominador. O resto será o numerador da fração mista e o divisor será o denominador. Como o quociente da divisão 7 ÷ 3 é igual a 2 e o resto é 1, tem-se que a fração acima, escrita como fração mista, terá a seguinte notação:

Para fazer o caminho inverso, basta multiplicar o denominador pela parte inteira e somar o resultado ao numerador, mantendo-se o denominador. Como o produto 3 × 2 é igual a 6 e a soma 6 + 1 é igual a 7, obtém-se novamente a notação sob a forma de fração imprópria, como visto acima.

[editar] Corpo de Frações

Se um conjunto A tem duas operações binárias + e x satisfazendo determinadas propriedades, pode-se perguntar em que condições é possível estender A para um outro conjunto B com operações binárias + e x, de forma que (B,+,x) seja um corpo e as operações (A+B) e (AxB) dêem o mesmo resultado quando efetuadas em A ou em B. Quando possível, temos a construção do corpo de frações.

Exercícios de Frações

1) Observe a figura:

a) Em quantas partes iguais o retângulo foi dividido?

b) Cada uma dessas partes representa que fração do retângulo?

c) A parte pintada representa que fração do retângulo?

2) Observe as figuras e diga quanto representa cada parte da figura e a parte pintada:

a) b) c)

3) Um sexto de uma pizza custa 3 reais, quanto custa:

a) da pizza

b) da pizza

c) a pizza toda

4) Se do que eu tenho são 195 reais, a quanto corresponde do que eu tenho?

5) Encontre o resultado dos cálculos abaixo:

a) b) c)

Os matemáticos usam para se referir ao conjunto de todos os números naturais. Este conjunto é infinito e contável por definição. Para declarar explicitamente que o zero foi excluído do conjunto, utiliza-se alguma notação mais específica. Exemplos:

Nota: deve-se tomar o cuidado para não confundir 0 e {0}, pois 0 é o número zero, ao passo que {0} é o conjunto unitário cujo único elemento é o número zero.

[editar] A história dos números naturais e o estado do zero

Os números naturais tiveram suas origens nas palavras utilizadas para a contagem de objetos, começando com o número dois, e daí por diante. Uma abstração seguinte foi identificar o número um.^[1]

O avanço seguinte na abstração foi o uso de numerais para representar os números. Isto permitiu o desenvolvimento de sistemas para o armazenamento de grandes números. Por exemplo, os babilônicos desenvolveram um poderoso sistema de atribuição de valor baseado essencialmente nos numerais de 1 a 10. Os egípcios antigos possuiam um sistema de numerais com hieróglifos distintos para 1, 10, e todas as potências de 10 até um milhão. Uma gravação em pedra encontrada em Karnak, datando de cerca de 1500 a.C. e atualmente no Louvre, em Paris, representa 276 como 2 centenas, 7 dezenas e 6 unidades; e uma representação similar para o número 4 622.

Um avanço muito posterior na abstração foi o desenvolvimento da idéia do zero como um número com seu próprio numeral. Um dígito zero tem sido utilizado como notação de posição desde cerca de 700 a.C. pelos babilônicos, porém ele nunca foi utilizado como elemento final.¹ Os Olmecas e a civilização maia utilizaram o zero como um número separado desde o século I a. C., aparentemente desenvolvido independentemente, porém seu uso não se difundiu na Mesoamérica. O conceito da forma como ele é utilizado atualmente se originou com o matemático indiano Brahmagupta em 628. Contudo, o zero foi utilizado como um número por todos os computus (calculadoras da idade média) começando com Dionysius Exiguus em 525, porém no geral nenhum numeral romano foi utilizado para escrevê-lo. Ao invés disto, a palavra latina para “nenhum”, “nullae”, foi empregada.

O primeiro estudo esquemático dos números como abstração (ou seja, como entidades abstratas) é comummente atribuído aos filósofos gregos Pitágoras e Arquimedes. Entretanto, estudos independentes também ocorreram por volta do mesmo período na Índia, China, e Mesoamérica.

No século XIX, uma definição do conjunto teórico dos números naturais foi desenvolvida. Com esta definição, era mais conveniente incluir o zero (correspondente ao conjunto vazio) como um número natural. Esta convenção é seguida pelos teorizadores de conjuntos, logicistas, e cientistas da computação. Outros matemáticos, principalmente os teorizadores dos números, comumente preferem seguir a tradição antiga e excluir o zero dos números naturais.

Uma construção consistente do Conjunto dos Números Naturais foi desenvolvida no século XIX por Giuseppe Peano. Essa construção, comumente chamada de Axiomas de Peano, é uma estrutura simples e elegante, servindo como um bom exemplo, de construção de conjuntos numéricos.

[editar] Propriedades Algébricas

	adição	multiplicação
Fechamento ou Fecho:	a + b é um número natural	a × b é um número natural
Associatividade:	a + (b + c) = (a + b) + c	a × (b × c) = (a × b) × c
Comutatividade:	a + b = b + a	a × b = b × a
Existência de um Elemento neutro:	a + 0 = a	a × 1 = a
Distributividade:	a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
Nenhum divisor de zero:	Se ab = 0, então ou a = 0 ou b = 0 (ou os dois)

resumo do aluno Marcelo

smoothdeath — Wed, 28 Apr 2010 21:22:43 +0000

As seguintes propriedades da função raiz quadrada são válidas para todos os números reais positivos x e y:

sempre que x ≥ y

para todo o número real x (ver valor absoluto)

A aplicação da função raiz quadrada a um número racional dá em geral origem a um número algébrico; √x é racional se e somente se x puder ser representado por uma razão entre dois quadrados perfeitos. Por exemplo, √2 é irracional (ver artigo raiz quadrada de dois).

Geometricamente, a função raiz quadrada transforma a área de um quadrado no comprimento do seu lado.

Admita-se que x e a são reais, e que x² = a, e que se quer determinar x. Um erro frequente é aplicar a função raiz quadrada e concluir que x = √a. Tal não é verdade uma vez que a raiz quadrada de x² não é x, mas sim o seu valor absoluto |x| (uma das propriedades acima mencionadas). Portanto, apenas se pode concluir que |x| = √a, ou, de outra forma, que x = ±√a.

Quando se pretende provar que a função raiz quadrada é contínua ou diferenciável, ou no cálculo de certos limites, a seguinte propriedade é de grande utilidade:

Tal é válido para quaisquer x e y não negativos, sendo pelo menos um deles diferente de zero.

A função f(x) = √x tem o seguinte gráfico:

A função é contínua para todo o x não negativo, e diferenciável para todo o x positivo. (não é diferenciável para x = 0 uma vez que o declive da tangente à curva nesse ponto é +∞. A sua derivada é dada por

As séries de Taylor para x = 1 podem ser encontradas usando o teorema binomial:

para |x| < 1.

[editar] Meios de calcular a Raiz quadrada

[editar] Calculadoras

As calculadoras portáteis tipicamente implementam boas rotinas para computar a função exponencial e o logaritmo natural, e elas computam a raiz quadrada de x usando a identidade: A mesma identidade é explorada quando computamos raízes quadradas com tábuas de logaritmos ou réguas de cálculo.

[editar] Método babilônio

Um algoritmo frequentemente usado para aproximar √n é conhecido como “método babilônio” (porque, especula-se, este era o método usado na Mesopotâmia para calcular a raiz quadrada^[2], e é o mesmo obtido ao aplicar-se o Método de Newton à equação . Para se encontrar a raiz quadrada de um número real n, processa-se como a seguir:

Inicie com um número positivo arbitrário r (preferencialmente próximo da raiz);
Substitua r pela média de r e n/r;
Repita o segundo passo para obter uma aproximação melhor.

Este algoritmo é quadraticamente convergente, que signfica que o número de dígitos corretos de r dobra a cada repetição.

Ele, entretanto, não dá a raiz exata, mas dá uma ótima aproximação. Abaixo, um exemplo do método para melhor compreensão

[editar] Método Babilônio (exemplificado)

O método babilônio é um método que dá uma aproximação da raiz quadrada. Ou seja não é um método perfeito, apresenta uma margem de erro (muito pequena, desprezível para cálculos que não necessitam muita precisão. De fato, dependendo da aproximação todas as casas decimais estarão corretas) . Mas se for para cálculos simples, é bom, pois não é necessário tanto rigor.

Digamos que se queira extrair a raiz quadrada de 66.

Ache o quadrado perfeito que mais se aproxima com o número.

5²=25
6²=36
7²=49
8²=64
9²=81

Nesse caso o quadrado que mais se aproxima é 64. Nota: Usa-se sempre o quadrado menor que o número procurado, mesmo que o quadrado maior seja mais próximo.

Extraia a raiz quadrada do quadrado que mais se aproximou. A raiz quadrada de 64 é 8. Nesse exemplo chamaremos 8 como A.

Divida o número original por A, até que se tenha o dobro de casas decimais que A.

66:8 = 8,2

Nesse exemplo chamaremos 8,2 como B

Somamos A com B e dividimos por 2. Esse número chamaremos de C.

8 + 8,2 = 16,2
16,2 : 2 = 8,1

Agora dividimos o número original (nesse caso 66) por C até que se tenha o dobro de casas decimais de C. O resultado chamaremos de D.

66 : 8,1 = 8,148

Somamos C e D e dividimos por 2.Esse número chamaremos de E.

8,124

Essa seria a raiz quadrada de 66. Poderíamos dividir o 66 por E e continuar esse mesmo processo, só que isso acabaria por dar algumas imprecisões. E como geralmente não se necessita uma raiz quadrada precisíssima, então podemos dizer que é desnecessário prosseguir. Mas caso queira continuar, o algoritmo continua o mesmo e você pode tentar chegar á 10 ou 12 casas decimais. Mas o resultado seria um pouco impreciso.

Então podemos dizer que a raiz quadrada de 66 é aproximadamente 8,124. Ao testarmos numa calculadora: 8,124038405… Ou seja esse método é bom para achar a raiz quadrada.

[editar] Um algoritmo exato semelhante ao da divisão longa

Este método, apesar de muito mais lento que o método Babilônio, tem a vantagem de ser exato: dado um número que tem uma raíz quadrada cuja representação decimal termina, então o algoritmo termina e produz a raiz quadrada correta após um número finito de passos. Ele pode ser usado, portanto, para checar se um dado número é um quadrado perfeito.

Escreva o número em decimal e divida-o em pares de digitos, começando do ponto. Os números são colocados de uma maneira similar ao algoritmo de divisão longa e a raíz quadrada final aparecerá acima do número original.

Para cada iteração: Traga para baixo o par o mais significativo dos dígitos ainda não usados e adicione-os a todo o restante. Este é o valor atual consultado em etapas 2 e 3. Se r denotar a parte do resultado encontrado assim distante, determine o maior digito x que não faz y = x(20r + x) para exceder o valor atual. Coloque o dígito novo x na linha do quociente. Subtraia y do valor atual para dar forma a um restante novo. Se o restante for zero e não houver não mais dígito para trazer para baixo o algoritmo terminou. Se não continue com etapa 1. Exemplo: Que é a raiz quadrada de 152,2756?

       ____1__2._3__4_
       |  01 52.27 56                        1
x         01                   1*1=1         1
         ____                                __
          00 52                              22
2x        00 44                22*2=44        2
         _______                             ___
             08 27                           243
24x          07 29             243*3=729       3
            _______                          ____
                98 56                        2464
246x            98 56          2464*4=9856      4
               _______
                00 00          O algoritmo termina:  a resposta é 12,34

Embora demonstrado aqui para números da base 10, o procedimento trabalha para algumas bases, incluindo a base 2. Na descrição acima, 20 meios dobram a base de número usada, no exemplo de binário isto seriam realmente 100 . que o algoritmo está no fato muito mais fácil de executar na base 2, como em cada etapa somente os dois dígitos 0 e 1 têm que ser testados.

[editar] Equação de Pell

A equação de Pell é um método para encontrar aproximações racionais de raízes quadradas das integrais.

[editar] Encontrando Raízes quadradas usando aritmética mental

Baseado na Equação de Pell’s este é um método para obter a Raiz quadrada simplesmente subtraindo números ímpares.

Ex: Para obter nós começamos com a seguinte sequência:

27 – 1 = 26
26 – 3 = 23
23 – 5 = 18
18 – 7 = 11
11 – 9 = 2

5 passos foram tomados e isso nos leva que a parte inteira da raiz quadrada de 27 é 5.

200 – 101 = 99

O próximo número é 1.

9900 – 1021 = 8879
8879 – 1023 = 7856
7856 – 1025 = 6831
6831 – 1027 = 5804
5804 – 1029 = 4775
4775 – 1031 = 3744
3744 – 1033 = 2711
2711 – 1035 = 1676
1676 – 1037 = 639

O próximo número é 9.

O resultado nos dá 5.19 com uma aproximação da raiz quadrada de 27.

[editar] Método das Frações Continuadas

Irracionais Quadráticos, que são os números envolvendo raízes quadradas na forma (a+√b)/c, são compostos por períodos de frações continuadas. Isto faz com que elas sejam fáceis de serem calculadas recursivamente, dado o período. Por exemplo, para calcular √2, nós temos que usar o fato de que √2-1 = [0;2,2,2,2,2,...], e usar a relação recursiva: a_n+1=1/(2+a_n) com a₀=0 para obter √2-1 dada uma precisão especificada por n níveis de recursividade, e adicionar 1 ao resultado para obter √2.

[editar] Raiz quadrada de números complexos

Para todo número complexo z não-nulo existem exatamente dois números w tais que w² = z. A definição usual de √z é como segue: se z = r exp(iφ) é representado em coordenadas polares com -π < φ ≤ π, então fazemos √z = √r exp(iφ/2). Isto definido, a função raíz quadrada é holomórfica em todo ponto exceto nos números não-positivos reais (onde ela não é nem contínua). A série de Taylor acima para √(1+x) continua válida para números complexos x com |x| < 1.

Quando o número complexo está na forma retangular, a seguinte fórmula pode ser usada:

onde o sinal da parte imaginária da raiz é o mesmo que o sinal da parte imaginária do número original.

Perceba que, por causa da natureza descontínua da função raiz quadrada no plano complexo, a regra √(zw) = √(z)√(w) é em geral falsa. Se for tomada erroneamente como verdadeira, esta regra pode levar a numerosas “provas” erradas, como por exemplo a seguinte prova real que mostra que -1 = 1:

A terceira igualdade não pode ser justificada.

Porém, a regra pode estar errada apenas até um fator -1, √(zw) = ±√(z)√(w), é verdadeiro para ambos ± tanto + como – (mas não ambos ao mesmo tempo). Perceba que √(c²) = ±c, portanto √(a²b²) = ±ab e finalmente √(zw) = ±√(z)√(w), com o uso de a = √(z) e b = √(w).

[editar] Raízes quadradas de matrizes e operadores

Se A é uma matriz positiva definida (ou um operador positivo definido), então existe exatamente uma matriz positiva definida (idem para operador) B tal que B² = A; definimos √A = B.

Mais genericamente, para cada matriz ou operador normal A existem operadores normais B tais que B² = A. Em geral, há vários operadores B para cada A e a função raiz quadrada não pode ser definida para operadores normais de uma maneira satisfatória.

[editar] Raiz quadrada dos 20 primeiros números inteiros positivos

√ 1 = 1
√ 2 ≈ 1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
√ 3 ≈ 1,7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
√ 4 = 2
√ 5 ≈ 2,2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
√ 6 ≈ 2,4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
√ 7 ≈ 2,6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
√ 8 ≈ 2,8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
√ 9 = 3
√10 ≈ 3,1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
√11 ≈ 3,3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
√12 ≈ 3,4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
√13 ≈ 3,6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
√14 ≈ 3,7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
√15 ≈ 3,8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
√16 = 4
√17 ≈ 4,1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
√18 ≈ 4,2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
√19 ≈ 4,3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
√20 ≈ 4,4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418881234567890

potenciação

As potências são explicadas em uma série de passos envolvendo matemática básica.

Todos esses passos se baseiam na generalização das leis seguintes, que podem ser facilmente provadas para n e m inteiros positivos:

1 \land n > m \rightarrow a^n > a^m\," />

[editar] Expoente zero

Para que

continue valendo para n = 0, devemos ter:

[editar] Expoentes inteiros negativos

Para que

= a^{(n + m)}

seja válido para n + m = 0, é necessário que elevar um número (exceto 0) à potência -1 produza seu inverso.

Então:

Elevando 0 a uma potência negativa implicaria uma divisão por 0, sendo assim indefinido.

Um expoente inteiro negativo também pode ser visto como uma divisão pela base. Logo:

Pode-se provar que, com essa definição, continua valendo para .

[editar] Expoentes um e zero

qualquer número elevado a um é igual a ele mesmo.

qualquer número (exceto o 0) elevado a 0 é igual a 1.

[editar] Indeterminações

Na exponenciação, é possível chegar às formas de indeterminação a seguir:

, quando

[editar] Potências cujo expoente não altera o resultado

[editar] Potências de 0

As potências de 0 são as potências de base 0, dados por 0ⁿ n>0. A matemática julga ser indeterminado o valor da potência: 0⁰, mas as outras potências cuja base é 0 e cujo expoente é positivo, têm como resultado o próprio 0.

[editar] Potências de 1

As potências de 1 são as potências de base 1, dados por 1ⁿ, sendo n pertencente aos reais. Não importa o valor de “n”, 1ⁿ será sempre 1. Não se pode afirmar que 0 elevado a 0 é igual a 1.

[editar] Potências de 10

Multiplicações sucessivas por 10 são fáceis de efectuar pois usamos um sistema decimal. Por exemplo, 10⁶ é igual a um milhão, que é 1 seguido de 6 zeros. Exponenciação com base 10 é muito utilizada na física para descrever números muito grandes ou pequenos em notação científica; por exemplo, 299792458 (a velocidade da luz no vácuo, em metros por segundo) pode ser escrita como 2.99792458 × 10⁸ e então aproximada para 2.998 × 10⁸. Os prefixos do sistema internacional de unidades também são utilizados para medir quantidades grandes ou pequenas. Por exemplo, o prefixo “kilo” (quilo) significa 10³ = 1000, logo, um quilómetro é igual a 1000 metros.

[editar] Potências de 2

Potências de 2 são importantes na ciência da computação. Por exemplo, existem 2ⁿ valores possíveis para uma variável que ocupa n bits da memória. 1 kilobyte = 2¹⁰ = 1024 bytes. Como pode haver confusão entre os significados padrão dos prefixos, em 1998 a Comissão Eletrotécnica Internacional aprovou vários prefixos binários novos. Por exemplo, o prefixo de múltiplos de 1024 é kibi-, então 1024 bytes é equivalente a um kibibyte. Outros prefixos são mebi-, gibi- e tebi-.

[editar] Expoentes fracionários

Para que a expressão

= x^{(n + m)}

seja válida para números racionais, devemos ter:

Ou, se forma genérica, para qualquer expoente fracionário, o denominador do expoente é o índice da raiz e o numerador é o expoente do radicando.

[editar] Expoentes decimais

No caso de expoente decimal, devemos transformá-lo em fração e depois em raiz.

[editar] Expoentes irracionais

Como a exponenciação tem a propriedade de que expoentes próximos geram resultados próximos (essa noção pode ser tornada mais precisa usando-se o conceito de continuidade), pode-se definir expoentes irracionais:

[editar] Expoentes imaginários e complexos

Ver artigo principal: Fórmula de Euler

Euler divulgou a fórmula

que, sob a forma equivalente já era conhecida por Roger Cotes.

Assim, usando-se logaritmos, pode-se definir para qualquer a real e z complexo, z = x + i y:

[editar] Sintaxe em linguagens de programação e programas

A maioria das linguagens de programação fornece métodos para executar a exponenciação, porém eles variam entre as diversas linguagens:

x ^ y: Basic, Matlab, R, Excel, Calculadora Cientifica e vários outros
x ** y: Fortran, Perl, Python, Ruby, Bash
pow(x, y): C, C++ (deve-se incluir a biblioteca math.h)
Math.pow(x, y): Java, JavaScript
$x^y$: LaTeX
Em pascal não existe a função correspondente, podendo ser utilizado no lugar, por exemplo, a função logaritmo (função ln()) juntamente com a exponencial (função exp()) (ambos na base e), na forma exp(y * ln(x)), ou até mesmo um ciclo de repetição, com multiplicações sucessivas.

Um cuidado deve ser tomado: como, normalmente, os compiladores traduzem a potenciação pela expressão exp(y * ln(x)), quando e y for inteiro, o compilador costuma dar erro, mesmo havendo uma resposta única.

Outro cuidado deve ser tomado no Excel. Ao contrário de outras linguagens de programação, uma expressão do tipo =-A1^2, que, significaria tirar o quadrado de A1 e depois aplicar o sinal menos, no Excel pode significar (-A1)^2. Para evitar este bug (e outros), recomenda-se o uso de parêntesis sempre no Excel, mesmo quando, matematicamente, eles sejam redundantes. Além disso, a exponencial no Excel pode ser substituída por uma função (em português, “POTÊNCIA”, em inglês, “POWER”), tornando o código totalmente ilegível

resumo do aluno marcelo

smoothdeath — Wed, 28 Apr 2010 19:33:32 +0000

Os múltiplos e divisores de um número estão relacionados entre si da seguinte forma:

Se 15 é divisível por 3, então 3 é divisor de 15, assim, 15 é múltiplo de 3.

Se 8 é divisível por 2, então 2 é divisor de 8, assim, 8 é múltiplo de Se 20 é divisível por 5, então 5 é divisor de 20, assim, 20 é múltiplo de 5.

Múltiplos de um número natural

Denominamos múltiplo de um número o produto desse número por um número natural qualquer. Um bom exemplo de números múltiplos é encontrado na tradicional tabuada.

Múltiplos de 2 (tabuada da multiplicação do número 2)

2 x 0 = 0
2 x 1 = 2
2 x 2 = 4
2 x 3 = 6
2 x 4 = 8
2 x 5 = 10
2 x 6 = 12
2 x 7 = 14
2 x 8 = 16
2 x 9 = 18
2 x 10 = 20
É assim sucessivamente.

Múltiplos de 3 (tabuada da multiplicação do número 3)

3 x 0 = 0
3 x 1 = 3
3 x 2 = 6
3 x 3 = 9
3 x 4 = 12
3 x 5 = 15
3 x 6 = 18
3 x 7 = 21
3 x 8 = 24
3 x 9 = 27
3 x 10 = 30
É assim sucessivamente.

Portanto, os múltiplo de 2 são: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18, 20, …
E os múltiplos de 3 são: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, …

Observe que os múltiplos do número escolhido obedecem a uma progressão aritmética com razão igual ao múltiplo estabelecido. Nos múltiplos de 2 a razão é 2, nos múltiplos de 3 a razão é 3 e assim sucessivamente. Veja mais exemplos:

Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, …
Múltiplos de 5: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, …

Divisores de um número natural

Um número é divisor de outro quando o resto da divisão for igual a 0. Portanto,

12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12.
36 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36.
48 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 e 48.

Observações importantes:

 O menor divisor natural de um número é sempre o número 1.

 O maior divisor de um número é o próprio número.

 O zero não é divisor de nenhum número.

 Os divisores de um número formam um conjunto finito.

Alguns números têm apenas dois divisores: o 1 e ele mesmo. Esses números são chamados de primos. Observe os números primos de 1 a 100 destacados no crivo de Eratóstenes:

resumo do aluno Marcelo

smoothdeath — Wed, 28 Apr 2010 19:18:37 +0000

Trata-se de um objeto com muitas faces. Um poliedro tem “bicos”, que são os ângulos poliédricos, e faces planas, que são os polígonos.

Um poliedro que tenha com faces apenas polígonos regulares, todos idênticos, e que também apresente todos os bicos (ângulos poliédricos) idênticos entre si é um poliedro regular.

Platão, por volta do século VI antes de Cristo, estudou certa classe de poliedros; que vieram posteriormente, ser conhecidos como os poliedros de Platão, entre os quais se incluem os poliedros regulares.

De um poliedro de Platão, exige-se que:

Todas as faces sejam polígonos, regulares ou não, mas com o mesmos número de lados;
Todos os bicos sejam formados com o mesmo número de arestas.

Quantos são os poliedros de Platão?

Só existem cinco tipos de poliedros de Platão, regulares ou não, que são: 1. Tetraedro 2. Octaedro 3. Icosaedro 4. Hexaedro 5. Dodecaedro

Obs: Na tentativa de construir poliedros regulares, verificamos, na prática, que não é possível fazê-lo nem com hexágonos, nem com polígonos que tenham mais do que seis lados. Por quê? Ora, experimentem construir um poliedro regular com hexágonos!

Obs 2: Os poliedros podem ser convexos ou não-convexos.

número de faces de um poliedro deve ser maior ou igual a 3.

TEOREMA DE EULER

Em todo poliedro com A arestas, V vértices e F faces, vale a relação V – A + F = 2 Essa relação é verdadeira para todos os poliedros convexos.

O poliedros regulares são conhecidos desde a antiguidade. O livro XIII dos “Elementos” de Euclides (cerca de 300 a.C.) é inteiramente dedicado aos sólidos regulares e contém extensos cálculos que determinam, para cada um, a razão entre o comprimento da aresta e o raio da esfera circunscrita.

Obs 3: A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é S = (V – 2).4r Onde V é o número de vértices e r é um ângulo reto.

A soma das medidas dos ângulos das faces de um poliedro convexo é dada pela expressão S = (V – 2)360

Hello world!

smoothdeath — Wed, 28 Apr 2010 18:06:56 +0000

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