Em aritmética e em teoria dos números o mínimo múltiplo comum (mmc) de dois inteiros a e b é o menor inteiro positivo que é múltiplo simultaneamente de a e de b. Se não existir tal inteiro positivo, por exemplo, se a = 0 ou b = 0, então mmc(a, b) é zero por definição.

O mínimo múltiplo comum é útil quando se adicionam ou subtraem fracções vulgares, pois é necessário o mínimo denominador comum (não é necessário que o denominador seja mínimo, mas sê-lo agiliza os cálculos) durante esses processos. Considere-se por exemplo

{2\over21}+{1\over6}={4\over42}+{7\over42}={11\over42},

onde o denominador 42 foi usado porque mmc(21, 6) = 42.

Se nem a nem b são zero, o mínimo múltiplo comum pode ser computado usando o máximo divisor comum (mdc) entre a e b:

\operatorname{mmc}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\operatorname{mdc}(a,b)}.

Assim, o Algoritmo Euclidiano para o mdc também nos dá um algoritmo rápido para o mmc. Retornando ao exemplo acima,

\operatorname{mmc}(21,6) = {21\cdot6\over\operatorname{mdc}(21,6)} = {21\cdot 6\over 3}={21\cdot 2}=42.

Agora note que como :\operatorname{mmc}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\operatorname{mdc}(a,b)}. então:

\operatorname{mmc}(a,b).{\operatorname{mdc}(a,b)}= a.b.

Índice

[esconder]

Cálculo eficiente

A fórmula

\operatorname{mmc}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\operatorname{mdc}(a,b)}

é adequada para o cálculo do mmc para números pequenos usando a fórmula tal e qual como está escrita.

Porque (ab)/c = a(b/c) = (a/c)b, pode-se calcular o mmc usando a fórmula acima mais eficientemente, calculando primeiro b/c ou a/c , sendo mais fácil de calcular que o quociente do produto ab por c, pois o facto de que c é multiplo tanto de a como de b permite que em qualquer fracção, a/c ou b/c, se possa cancelar o valor de c. Isto é verdade quer os cálculos sejam feitos por um humano, ou por um computador, o que pode ter requisitos de armazenamento nas variáveis a, b, c, onde os limites podem ser de armazenamento de 4 bytes – calcular ab pode causar um overflow, se o espaço de armazenamento não for devidamente reservado.

Usando isto, podemos então calcular o mmc usando:

\operatorname{mmc}(a,b)=\left({a\over\operatorname{mdc}(a,b)}\right)\cdot b

ou

\operatorname{mmc}(a,b)=a\cdot\left({b\over\operatorname{mdc}(a,b)}\right).\,

Deste modo, no exemplo anterior:

\operatorname{mmc}(21,6)={21\over\operatorname{mdc}(21,6)}\cdot6={21\over3}\cdot6=7\cdot6=42.

Mesmo que os números sejam grandes e não sejam rapidamente factorizáveis, o mdc pode ser rapidamente calculado com o Algoritmo de Euclides.

[editar] Uma forma de nos lembrarmos de cancelar antes de multiplicar

Para aqueles que já ensinaram matemática elementar é por vezes frustrantemente difícil obter estudantes que se lembrem de cancelar antes de multiplicar. A seguinte maneira tem a virtude de tornar este passo impossível de esquecer (essencialmente torna-se desnecessário lembrar). Ilustraremos isto com o exemplo da procura do mmc(12, 8).

  • Primeiro, reduz-se a fracção aos seus menores termos: {12 \over 8} = {3 \over 2}.
  • Depois, multiplica-se “em cruz”: 12\times 2 = 8\times 3.\,
  • O produto 12 × 2 = 8 × 3 = 24 é o mmc.

[editar] Método alternativo

O Teorema da factorização única diz que todo o número maior que 1 pode ser escrito de um só modo como um produto de números primos. Os números primos podem ser considerados como os elementos atómicos que, quando combinados, formam um número composto.

Por exemplo:

90 = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 2 \cdot 9 \cdot 5 \,\!

Aqui temos o número composto 90, constituído por um átomo do número primo 2, dois átomos do número primo 3 e um átomo do número primo 5.

Podemos usar este conhecimento para encontrar facilmente o mmc de um grupo de números.

Por exemplo: Encontrar o valor de mmc(45, 120, 75)

45\; \, = 2^0 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \,\!
120 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \,\!
75\; \,= 2^0 \cdot 3^1 \cdot 5^2. \,\!

O mmc é o número que tem o maior múltiplo de cada tipo diferente de átomo. Assim

\operatorname{mmc}(45,120,75) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 8 \cdot 9 \cdot 25 = 1800. \,\!

[editar] Outras propriedades

Considerado como operação binária, o mmc de dois inteiros positivos tem as propriedades comutativa e associativa, é idempotente, 1 é o elemento neutro, e a multiplicação é distributiva com o mmc:

a * \operatorname{mmc}(b, c) = \operatorname{mmc}(a * b, a * c)\,

A teoria dos números é o ramo da matemática pura que estuda propriedades dos números em geral, e em particular dos números inteiros, bem como a larga classe de problemas que surge no seu estudo.

A teoria dos números pode ser subdividida em muitas áreas, de acordo com o método utilizado e do tipo de questão investigada.

O termo “aritmética” é também utilizado para se referir à teoria dos números. Esse é um termo antigo, que não é mais tão popular como já foi. A teoria dos números foi também chamada de aritmética superior, mas esse termo também caiu em desuso. Entretanto, esse termo ainda aparece nos nomes de objetos matemáticos relacionados (funções aritméticas, aritmética de curvas elípticas, teorema fundamental da aritmética). Esse sentido do termo aritmética não deve ser confundido ou com aritmética elementar, ou com o ramo da lógica que estuda aritmética de Peano como um sistema formal. Os matemáticos que trabalham na área de teoria dos números são chamados teoristas dos números.

Tradicionalmente, a teoria dos números é o ramo da matemática pura que se preocupa com as propriedades dos números inteiros e que envolve muitos problemas que são facilmente compreendidos mesmo por não-matemáticos. A disciplina veio a ocupar-se com uma classe mais vasta de problemas que surgiram naturalmente do estudo dos números inteiros. A teoria dos números pode ser subdividida em vários campos, de acordo com os métodos que são usados e das questões que são investigadas, a saber

Normalmente, o primeiro contacto com a teoria dos números é por meio da teoria elementar dos números. Através desta disciplina podem ser introduzidas propriedades bastante interessantes e notáveis dos números inteiros, mas, que ao serem propostas como questões a serem resolvidas, ou teoremas a serem provados, são geralmente de difícil solução ou comprovação. Estas questões estão ligadas basicamente a três tipos de pesquisas, a saber:

O estudo de fatoração em números primos é muito importante para diversas partes da Matemática, mas principalmente para potenciação e fatoração. Por isso colocamos todos estes tópicos juntos.

O que significa fatorar? O que é um fator? Números Primos? :-)

Quando aprendemos a multiplicar (lá nas primeiras séries), também aprendemos o que é um fator.
Cada parte de uma multiplicação tem seu nome:

fator1.gif (1571 bytes)

Fatorar um número nada mais é do que achar uma multiplicação de números que resulte o número a ser fatorado. Exemplos:

Uma fatoração para 4 pode ser 2 · 2

9 = 3 · 3

32 = 16 · 2

90 = 15 · 3 · 2

Todos estes são exemplos de fatoração.

Mas o que nos interessa é a fatoração em números primos.

Fatorar em números primos é achar uma multiplicação de números primos que resulta no número que deseja-se fatorar.

Veja que os dois últimos exemplos, logo acima, não são fatoração em primos, pois 16 e 15 não são números primos. Então aquela fatoração é somente fatoração, e não fatoração em números primos.

NÚMEROS PRIMOS
Número Primo Positivo é todo aquele número que só pode ser dividido pelos números positivos 1 e  ele mesmo.Por exemplo, o número 10 não é primo, pois pode ser dividido por 1, 2, 5 e 10.

O número 5 é primo, pois só pode ser dividido por 1 e por 5.

Os primeiros números primos positivos são:

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 27, 29, 31, 37…}

Curiosidade: O único número primo positivo que é PAR é o 2. Todos os restantes são ímpares.

Obs.: A qualidade de ser primo é algo que também afeta os números negativos. Apesar de não ser algo muito utilizado nos vestibulares. Para os negativos, dizemos que um número é primo negativo quando só pode ser divido pelos números negativos -1 e ele mesmo. Ou seja, o número -3, que só pode ser dividido pelos negativos -1 por ele mesmo também é primo.

No antigo Egito por volta do ano 1000 a.C., o faraó Sesóstris distribuiu algumas terras às margens do rio Nilo para alguns agricultores privilegiados. O privilégio em possuir essas terras era porque todo ano, no mês de julho, as águas do rio inundavam essa região ao longo de suas margens e fertilizava os campos. Essas terras, portanto, eram bastante valorizadas.

Porém, era necessário remarcar os terrenos de cada agricultor em setembro, quando as águas baixavam. Os responsáveis por essa marcação eram os agrimensores, que também eram chamados de estiradores de corda, pois mediam os terrenos com cordas nas quais uma unidade de medida estava marcada.

Essas cordas eram esticadas e se verificava quantas vezes a tal unidade de medida cabia no terreno, mas nem sempre essa medida cabia inteira nos lados do terreno. Esse problema só foi resolvido quando os egípcios criaram um novo número: o número fracionário. Ele era representado com o uso de frações, porém os egípcios só entendiam a fração como uma unidade (ou seja, frações cujo numerador é igual a 1).

Eles escreviam essas frações com uma espécie de sinal oval escrito em cima do denominador. Mas os cálculos eram complicados, pois no sistema de numeração que usavam no antigo Egito os símbolos se repetiam muitas vezes.

Só ficou mais fácil trabalhar com as frações quando os hindus criaram o Sistema de Numeração Decimal, quando elas passaram a ser representadas pela razão de dois números naturais.

Desde então, as frações foram usadas para a resolução de diversos tipos de problemas matemáticos. Uma das formas mais correntes de se trabalhar com frações é a porcentagem, em que se expressa uma proporção ou uma relação a partir de uma fração cujo denominador é 100. O uso de frações também é de valia extrema para a resolução de problemas que envolvem regra de três.

[editar] Definições

De modo simples, pode-se dizer que uma fração de um número, representada de modo genérico como \frac{a}{b}, designa este número a dividido em b partes iguais. Neste caso, a corresponde ao numerador, enquanto b corresponde ao denominador, que não pode ser igual a zero.[1]

O denominador corresponde ao número de partes que um todo será dividido e o numerador corresponde ao número de partes que serão consideradas. Ex.: Uma professora tem que dividir três folhas de papel de seda entre quatro alunos, como ela pode fazer isso?

Cada aluno ficara com 3:4=\frac{3}{4} da folha, ou seja você vai dividir cada folha em 4 partes e distribuir 3 para cada aluno.

Por exemplo, a fração \frac{56}{8} designa o quociente de 56 por 8. Ela é igual a 7, pois 7 × 8 = 56. A divisão é, note-se, a operação inversa da multiplicação.

Os números expressos em frações são chamados de números racionais. O conjunto dos racionais é representado por \mathbb Q. Fração é a representação da parte de um todo (de um ou mais inteiros), assim podemos considerá-la como sendo mais uma representação de quantidade, ou seja, uma representação numérica, com ela podemos efetuar todas as operações como: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação.

Dessa forma, toda fração pode ser representada em uma reta numerada, por exemplo, 1/2 (um meio) significa que de um inteiro foi considerada apenas a sua metade, portanto, podemos dizer que em uma reta numerada a fração 1/2 estará entre os números inteiros 0 e 1.

[editar] Tipos de Frações

  • própria: o numerador é menor que o denominador. Ex.: \frac{1}{2}
  • imprópria: o numerador é maior que o denominador. Ex.: \frac{9}{5}
  • mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Ex.: 2 \frac{1}{3}.Pode-se encontrar uma fração imprópria a partir do número misto: 3\frac{1}{2} 2×3=6 6+1=7 (7=numerador/2=denominador)e assim por diante repetindo o denominador
  • aparente: é quando o numerador é múltiplo ao denominador. Ex.: \frac{4}{4}
  • equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Ex.: \frac{4}{4} = \frac{2}{2} 4 e 4 dividos por 2(ou outro número) é igual a 2.
  • irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo simplificação. Ex.: \frac{9}{22}
  • unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ex.: \frac{1}{3}
  • egípcia: fração que é a soma de frações unitárias, distintas entre si. Ex: {\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{15}} = \frac{3}{5}
  • decimal: o denominador é uma potência de 10(100,1000,10000…). Ex.: \frac{437}{1000}
  • composta: fração cujo numerador e denominador são frações: \frac{\frac{19}{15}}{\frac{5}{6}}
  • contínua: fração constituída a partir de uma sequência de inteiros naturais (a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{k} ) da seguinte maneira a_{0} + \frac{1}{ a_{1}+ \frac{1}{ a_{2} \dots \frac{1}{a_{k-1} + \frac{1}{a_{k}}} } }

[editar] Exponenciação ou Potenciação

É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão:

{\left ( \frac{1}{2} \right )^2} = {{1}^{2} \over {2}^{2}} = {\frac{1}{4}} = 0,25

Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmo resultado:

{\left ( \frac{1}{2} \right )^2} = {({0,5})^{2}} = 0,25

Também é comum nos números comuns, a qual resolve-mos primeiro as potencias seguidas de parênteses e logo depois as operações. Bem melhor será pensar que as fracções são números comuns por ele pelas vezes ditas no expoente. 2/2 + 2ª=2/2 + 4= 1+4=5

[editar] Radiciação

A raiz de uma fração é feita seguindo-se os mesmos passos da potenciação.

{\sqrt[2]\frac{1}{4} = {\sqrt[2]{1}\over\sqrt[2]{4}} = {{1}\over{2}}} = 0,5

[editar] Expoente fracionário

Da mesma forma que na, divisão entre frações, a ocorrência de expoente fracionário causa a inversão da operação:

8^{{2} \over {3}} = \sqrt[3]{8^{2}} = \sqrt[3]{64} = {4}

ou pode ser feita assim Fração#Divis.c3.A3o/Multiplicação

[editar] Simplificação de frações

Uma fração pode ser simplificada quando numerador e denominador não são primos entre si. Ex.:

\frac{4}{8}

Para tanto basta dividi-los pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, obtendo-se uma fração que, além de manter a proporção da original, é do tipo irredutível:

{{\frac{4:4}{8:4}}} = {{1} \over {2}}

[editar] Comparação entre frações

Uma propriedade importante para se comparar frações é a seguinte:

Se \frac{a}{b}\, e \frac{c}{d}\, são frações irredutíveis, com a, b, c e d inteiros positivos, então \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies a = c \land b = d\,.

Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador. Isso é obtido através do menor múltiplo comum, como foi visto na adição.

\frac{2}{5}   ?   \frac{3}{7}

O MMC entre 5 e 7 é 35.

{35 \over {5}} = {7}   ∴   7 \times {2} = {14}
{35 \over {7}} = {5}   ∴   5 \times {3} = {15}

A comparação entre frações com denominadores diversos vale-se do fato de que há frações que são equivalentes entre si, pois:

\frac{14}{35} = \frac{2}{5}   e   \frac{15}{35} = \frac{3}{7}

Uma vez igualados os denomidores,pode-se fazer a comparação entre as frações:

{\frac{14}{35}} < {\frac{15}{35}} logo {\frac{2}{5}} < {\frac{3}{7}}

[editar] Conversão entre frações impróprias e mistas

Uma fração do tipo imprópria pode ser convertida para mista e vice-versa.

\frac{7}{3}

Para tanto, basta dividir o numerador pelo denominador. O resto será o numerador da fração mista e o divisor será o denominador. Como o quociente da divisão 7 ÷ 3 é igual a 2 e o resto é 1, tem-se que a fração acima, escrita como fração mista, terá a seguinte notação:

2 \frac{1}{3}

Para fazer o caminho inverso, basta multiplicar o denominador pela parte inteira e somar o resultado ao numerador, mantendo-se o denominador. Como o produto 3 × 2 é igual a 6 e a soma 6 + 1 é igual a 7, obtém-se novamente a notação sob a forma de fração imprópria, como visto acima.

[editar] Corpo de Frações

Se um conjunto A tem duas operações binárias + e x satisfazendo determinadas propriedades, pode-se perguntar em que condições é possível estender A para um outro conjunto B com operações binárias + e x, de forma que (B,+,x) seja um corpo e as operações (A+B) e (AxB) dêem o mesmo resultado quando efetuadas em A ou em B. Quando possível, temos a construção do corpo de frações.

Exercícios de Frações

1) Observe a figura:

exercicios_fracoes1.GIF (1795 bytes)

a) Em quantas partes iguais o retângulo foi dividido?

b) Cada uma dessas partes representa que fração do retângulo?

c) A parte pintada representa que fração do retângulo?

2) Observe as figuras e diga quanto representa cada parte da figura e a parte pintada:

a) exercicio_fracao8.GIF (2280 bytes)       b) exercicio_fracoes4.GIF (1799 bytes)   c) exercicio_fracoes5.GIF (1584 bytes)

3) Um sexto de uma pizza custa 3 reais, quanto custa:

a) exercicio_fracoes13.gif (339 bytes) da pizza

b) exercicio_fracoes14.gif (339 bytes) da pizza

c) a pizza toda

 

4) Se do que eu tenho são 195 reais, a quanto corresponde do que eu tenho?


5) Encontre o resultado dos cálculos abaixo:

a) exercicio_fracoes17.gif (432 bytes)                             b) exercicio_fracoes18.gif (454 bytes)                             c) exercicio_fracoes19.gif (459 bytes)

Os matemáticos usam \mathbb{N} para se referir ao conjunto de todos os números naturais. Este conjunto é infinito e contável por definição. Para declarar explicitamente que o zero foi excluído do conjunto, utiliza-se alguma notação mais específica. Exemplos:

\mathbb{N}^{*} = \mathbb{N}-\{0\} = \{x \in \mathbb{N} | x \ne 0\} = \{0\}^c_\mathbb{N}

Nota: deve-se tomar o cuidado para não confundir 0 e {0}, pois 0 é o número zero, ao passo que {0} é o conjunto unitário cujo único elemento é o número zero.

[editar] A história dos números naturais e o estado do zero

Os números naturais tiveram suas origens nas palavras utilizadas para a contagem de objetos, começando com o número dois, e daí por diante. Uma abstração seguinte foi identificar o número um.[1]

O avanço seguinte na abstração foi o uso de numerais para representar os números. Isto permitiu o desenvolvimento de sistemas para o armazenamento de grandes números. Por exemplo, os babilônicos desenvolveram um poderoso sistema de atribuição de valor baseado essencialmente nos numerais de 1 a 10. Os egípcios antigos possuiam um sistema de numerais com hieróglifos distintos para 1, 10, e todas as potências de 10 até um milhão. Uma gravação em pedra encontrada em Karnak, datando de cerca de 1500 a.C. e atualmente no Louvre, em Paris, representa 276 como 2 centenas, 7 dezenas e 6 unidades; e uma representação similar para o número 4 622.

Um avanço muito posterior na abstração foi o desenvolvimento da idéia do zero como um número com seu próprio numeral. Um dígito zero tem sido utilizado como notação de posição desde cerca de 700 a.C. pelos babilônicos, porém ele nunca foi utilizado como elemento final.1 Os Olmecas e a civilização maia utilizaram o zero como um número separado desde o século I a. C., aparentemente desenvolvido independentemente, porém seu uso não se difundiu na Mesoamérica. O conceito da forma como ele é utilizado atualmente se originou com o matemático indiano Brahmagupta em 628. Contudo, o zero foi utilizado como um número por todos os computus (calculadoras da idade média) começando com Dionysius Exiguus em 525, porém no geral nenhum numeral romano foi utilizado para escrevê-lo. Ao invés disto, a palavra latina para “nenhum”, “nullae”, foi empregada.

O primeiro estudo esquemático dos números como abstração (ou seja, como entidades abstratas) é comummente atribuído aos filósofos gregos Pitágoras e Arquimedes. Entretanto, estudos independentes também ocorreram por volta do mesmo período na Índia, China, e Mesoamérica.

No século XIX, uma definição do conjunto teórico dos números naturais foi desenvolvida. Com esta definição, era mais conveniente incluir o zero (correspondente ao conjunto vazio) como um número natural. Esta convenção é seguida pelos teorizadores de conjuntos, logicistas, e cientistas da computação. Outros matemáticos, principalmente os teorizadores dos números, comumente preferem seguir a tradição antiga e excluir o zero dos números naturais.

Uma construção consistente do Conjunto dos Números Naturais foi desenvolvida no século XIX por Giuseppe Peano. Essa construção, comumente chamada de Axiomas de Peano, é uma estrutura simples e elegante, servindo como um bom exemplo, de construção de conjuntos numéricos.

[editar] Propriedades Algébricas

  adição multiplicação
Fechamento ou Fecho: a + b   é um número natural a × b   é um número natural
Associatividade: a + (b + c)  =  (a + b) + c a × (b × c)  =  (a × b) × c
Comutatividade: a + b  =  b + a a × b  =  b × a
Existência de um Elemento neutro: a + 0  =  a a × 1  =  a
Distributividade: a × (b + c)  =  (a × b) + (a × c)
Nenhum divisor de zero: Se ab = 0, então ou a = 0 ou b = 0 (ou os dois)